高数积分问题
4个回答
2017-01-02 · 知道合伙人教育行家
huqian793
知道合伙人教育行家
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2011年高教社杯全国大学生建模国家二等奖； 2012年大学生创新项目校一等奖并获优秀大学生奖； 过英语四六级
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∫[0,π]x*sin nx dx
=-1/n∫[0,π]x dcos nx
=-1/nxcosnx[0,π]+1/n∫[0,π]cos nx dx
=-1/nxcosnx[0,π]
=－1/nπ (n是偶数时）
=1/nπ (n是奇数时）
以后可以应用的公式:
函数y=xsinnx的原函数是∫xsinnxdx
若n=0,∫xsinnxdx=C
若n≠0,
∫xsinnxdx=(-1/n)∫xd(cosnx)
=(-1/n)xcosnx+(1/n)∫cosnxdx
=(-1/n)xcosnx+(1/n^2)sinnx+C
=-1/n∫[0,π]x dcos nx
=-1/nxcosnx[0,π]+1/n∫[0,π]cos nx dx
=-1/nxcosnx[0,π]
=－1/nπ (n是偶数时）
=1/nπ (n是奇数时）
以后可以应用的公式:
函数y=xsinnx的原函数是∫xsinnxdx
若n=0,∫xsinnxdx=C
若n≠0,
∫xsinnxdx=(-1/n)∫xd(cosnx)
=(-1/n)xcosnx+(1/n)∫cosnxdx
=(-1/n)xcosnx+(1/n^2)sinnx+C
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∫xsinnxdx=(1/n^2)∫nxsinnxdnx=(-1/n^2)*∫nxdcosnx
=(-1/n^2)[nxcosnx-∫cosnxdnx]
=(-1/n^2)
=(-1/n^2)[nxcosnx-sinnx]+C
=(-1/n^2)[nxcosnx-∫cosnxdnx]
=(-1/n^2)
=(-1/n^2)[nxcosnx-sinnx]+C
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等于π/2*sinnx的积分（定积分的特殊性质）
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第一步的变换书上有证明，你也可以自己证，用分部积分证
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