Question

求解答过程，设x→0时，ax²+b-cosx是比x²高阶的无穷小，其中a,b是常数，则（）

设x→0时，ax²+b-cosx是比x²高阶的无穷小，其中a,b是常数，则（）
A.a=1/2,b=1
B.a=-1/2,b=0
C.a=-1/2,b=1
D.a=1/2,b=0
答案是C，求大神给出解答过程

Answer 1

ln（sinx/tanx）=ln(cosx)=ln(1-(1-cosx))等价于-(1-cosx)等价于-x²/2是x³的低阶无穷小

追问

加50分再问个问题
b=1这个我算出来了，下一步是lim(x→0) (ax²+b-cosx)/x²=0即(ax²+1-cosx)/x²
然后根据等价无穷小代换把分子换成ax²+1/2x²=0是吗
可是之前做过一个题
lim(x→0) (tanx-sinx)/sin³x 解答过程中不可以直接把分母换成x-x的为什么这个题又能换了 究竟什么情况可以换什么情况不可以换呢

Answer 2

追问

加50分再问个问题，之前做过一个题
lim(x→0) (tanx-sinx)/sin³x 解答过程中不可以直接把分母换成x-x的为什么这个题又能换了 究竟什么情况可以换什么情况不可以换呢

追答

其实都能换，就看精确度（就是无穷小的阶数）。一般要尽可能取到更高阶

追问

还是不太懂~~lim(x→0) (tanx-sinx)/sin³x 个人感觉把分子换成x-x没什么毛病啊 为什么是错的呢 答案是1/2，看了解答过程感觉也没毛病 请问差在哪里？

追答

无穷小阶数过低，就会使计算误差过大，因此要取更高阶无穷小。
注意分母 (sinx)^3 与 x^3 同阶，所以分子也必须取到 3 阶或更高阶，只取 tanx = x，sinx=x 显然不够。
取 tanx = x + 1/3*x^3，sinx = x - 1/6*x^3 就可以了。（分母只取 sinx = x 即可）

Answer 3

引用西域牛仔王的回答：

只有是因式的时候才可以等价替换，，，不是什么时候都能等价替换哦