Question

在100以内与77互质的所有奇数之和是多少（要

Answer 1

100以内所有奇数之和是：
1+3+5+…+99=100×25=2500，
7的倍数与11的倍数之和是：
7×（1+3+…+13）+11×（1+3+…+9）
=7×49+11×25，
=343+275，
=618，
7×11=77，
2500-618+77=1959，
所以：
在100以内与77互质的所有奇数之和是1959．

Answer 2

在100之内与77互质的所有奇数之和
=在100之内所有奇数之和-在100之内不与77互质的所有奇数之和
∵77=7*11
∴不与77互质的奇数为7或11的倍数（且为奇数）
满足条件的7的倍数为：
7,21,35,49,63,77,91
满足条件的11的倍数为：
11,33,55,77,99
∴在100之内与77互质的所有奇数之和
=在100之内所有奇数之和-在100之内不与77互质的所有奇数之和
=(1+3+5+..+99)-(7+21+35+49+63+77+91)-(11+33+55+77+99)+77
=(1+99)*50/2-(7+91)*7/2-(11+99)*5/2+77
=2500-343-275+77
=1959

Answer 3

[解]设A为100以内所有奇数之和，B为100以内与77有非1的公约数的全体奇数之和， X为100以内与77互质的所有奇数之和，因为任一自然数，要么与77互质，要么与77有非1的公约数，所以
X＝A－B （1）
A＝1+3+5+7+……+99＝1/2×50×100＝2500（2）
77＝7×11（3）
＝7/2×7×14=343 （4）
100以内有约数7的奇数之和为
7×（1＋3+5+9+11＋13）
100以内有约数11的奇数之和为
11×（1+3+5+7+9）＝11/2×5×10＝275
所以 B=343＋275-77＝541 （6）
（6）中减去77是因为在（4）和（5）中都计算过77这一项，最后
X＝2500-541＝1959
[答]和为1959。