这道题求收敛半径和收敛域怎么求啊! 5

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sinerpo
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设Un=(3^n +5^n)x^n/n
Un+1=[3^(n+1) + 5^(n+1)]x^(n+1)/(n+1)
比值法
lim n→∞ |Un+1/Un|
=lim n→∞ |[3^(n+1) + 5^(n+1)]x^(n+1)/(n+1)/(3^n +5^n)x^n/n|
=lim n→∞ |x|[3^(n+1) + 5^(n+1)]n/[(n+1)(3^n +5^n)]
=lim n→∞ |x|[3^(n+1) + 5^(n+1)]/[(3^n +5^n)]
分子分母同除5^n
=lim n→∞ |x| [3(3/5)^n+5]/[(3/5)^n +1]
=5|x|<1
得收敛半径R=1/5
收敛区间为(-1/5,1/5)
当x=1/5时,Un=[(3/5)^n +1]/n>1/n
根据比较审敛法可知,由于1/n发散,所以Un也发散。
当x=-1/5时,Un=[(3/5)^n +1](-1)^n/n=(-3/5)^n/n +(-1)^n/n
对于An=|(-3/5)^n/n|
用根值法可知lim n→∞ (An)^(1/n)=3/5<1
所以An绝对收敛。
对于Bn=(-1)^n/n
用莱布尼茨判别法可知条件收敛。
综上此时Un收敛。
故收敛域为[-1/5,1/5)
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