Question

证明一个不等式

谁能帮我证明这个不等式
|a+b|+|a-b|≥|a|+|b|
谢谢了哇
忘了还有个问题说是叫证明这个前先证明出|a|≤|a/2+b/2|+|a/2-b/2|

Answer 1

首先要知道绝对值不等式：
对任意实数x,y都有|x|+|y|>=|x+y|>=|x|-|y|
或者：|x|+|y|>=|x-y|>=|x|-|y|
下面，利用|x|+|y|>=|x+y|，有
|a+b|+|a-b|>=|(a+b)+(a-b)|=2|a|........(1)
利用|x|+|y|>=|x-y|，有
|a+b|+|a-b|>=|(a+b)-(a-b)|=2|b|.........(2)
（1）和（2）式相加得
2|a+b|+2|a-b|>=2|a|+2|b|
即|a+b|+|a-b|≥|a|+|b|

Answer 2

证明：若ab>=0，则|a+b|=|a|+|b|(自己讨论下，比较简单)
而|a-b|≥0
有|a+b|+|a-b|≥|a|+|b|
若ab<0，则|a-b|=|a|+|b|（自己讨论下，比较简单）
而|a+b|≥0
有|a+b|+|a-b|≥|a|+|b|