Question

高等数学定积分的求解要做什么题

Answer 1

一、与定积分定义与性质有关的问题

●用定积分的定义求数列极限的基本原则与使用方法

依据：基于以上结论和定积分的定义，于是对于特定分割（均分为n份）和区间上特殊取点（统一取为左端点或者统一取为右端点），从而可以用定积分的定义来求无穷项和的极限.

原则、步骤与方法：如果考虑使用定积分的定义来求无穷项和的数列的极限，则首先将极限式写成∑求和形式；然后提出一个1/n，再将剩下部分中包含的n与k（或者i）转换为i/n或k/n的函数表达式（这个过程可能需要经过放缩，结合夹逼定理），即最终的极限式可以写成∑f(i/n)(1/n)的结构，则可以把最终的极限描述为被积函数为f(x)，积分区间为[0,1]的定积分形式. 具体过程参见课件中的例题和后面的参考阅读！

【注】如果希望构建积分区间为[a,b]，则需要提出(b-a)/n，并将剩余部分转换为a+(b-a)i/n，即极限式转换为∑f[a+(b-a)i/n](b-a)/n的结构，则最终的极限描述为被积函数为f(x)，积分区间为[a,b]的定积分形式.

●定积分性质命题相关的注意事项

(1) 与定积分不等式命题相关的证明考虑积分性质中的保号性中的几个结论

(2) 与定积分、被积函数和积分区间相关的命题的证明，考虑定积分的积分中值定理；定积分中值定理架起了定积分与被积函数和积分区间之间的桥梁，使得定积分的研究可以转换为被积函数来研究.

二. 与变限积分函数有关的问题

积分上限函数为被积函数的一个原函数，因此，积分上限函数是连续可导函数

● 在已知条件或者结论中包含有积分上限函数的问题，一般直接的思路就是先对积分上限函数求导

● 积分上限函数也称为变上限函数，因此，有变下限函数，以及上下积分限都为函数的积分限函数，对于它们都可以转换为变上限函数来处理。于是结合积分上限函数的复合函数可以得到以上变限函数的导数表达式

● 对于积分变限函数求导的基本原则是在求导之前将被积表达式要变换成与求导变量无关，而仅仅与积分变量相关的表达式；积分上下限为求导变量的函数的结构，这样就可以直接使用变限积分求导公式直接套用！即将被积函数的积分变量替换为变限表达式，然后乘以变限函数的导数即得导数结果，即依据课件及上面的公式将最终所求的变限积分式子转换如下，并有如下求导结果

即如果被积表达式中包含有求导变量，则要提出来，如果提不出来，则通过积分的换元法的方式转换，使得其不包含有求导变量.