Question

在数列an中，a1=1,an=2an-1 + n+2/n(n+1),(n大于等于2，n属于正整数），猜想an的通项公式，并用数学归纳法

证明你的猜想

Answer 1

是猜想不出来还是不会证？ 可能是猜想比较困难。
解：先计算：a1=1，a2=8/3=3- 1/3，a3=23/4=6- 1/4，a4=59/5=12-1/5,… ，
猜想：an=3×2^(n-2) - 1/(n+1) ……………………………… （1）
证明：n=1时，由（1）计算得：a1=3/2-1/2=1，与已知相符，即（1）式成立。
假设 n=k 时（1）式成立，有ak=3×2^k(k-2)-1/(k+1),
那么 n=k+1 时，由已知 an=2an-1 + （n+2）/n(n+1)
可得 a(k+1)=2ak + （k+1+2）/(k+1)(k+2),再代入归纳假设：
a(k+1)=3×2^(k-1)-2/(k+1) + （k+1+2)/(k+1)(k+2)
=3×2^(k-1) + (-2k-4+k+3)/(k+1)(k+2)
=3×2^(k-1)-2/(k+2)=3×2^[(k+1)-2] - 2/[(k+1)+1]
即：n=k+1 时，（1）式也成立。
综上可知，an=3×2^(n-2) - 1/(n+1)成立。

不用数学归纳法也可以：
由 an=2an-1 + （n+2）/n(n+1)=2an-1 + 2/n - 1/(n+1)
得 an + 1/(n+1)=2(an-1 + 1/n)
于是 数列{an + 1/(n+1)}是等比数列。以下略。

Answer 2

“2/n(n+1)”中分母是什么，分子是什么？
你打清楚点，否则我无法帮你解决问题。