Question

在三角形abc中角acb=90cd垂直于ab于d设ac=b.bc=a cd=h

三角形ABC中,角ACB=90°,CB垂直于AB于D,设AC=b,BC=aAB=c,CD=h。
求证：(1)1/a2+1/b2=1/h2（2）以a+b，h，c+h为边的三角形是直角三角形。

Answer 1

证明：（1）∵△ABC的面积＝1/2ab＝1/2ch，∴ab＝ch
∴1/a2＋1/b2
＝(a2＋b2)/a2b2
＝c2/a2b2
＝c2/c2h2
＝1/h2

（2）由（1）知ab＝ch，∴2ab＝2ch
又a2＋b2＝c2，∴a2＋b2＜c2＋h2
∴a2＋b2＋2ab＜c2＋h2＋2ch
即(a＋b)2＜(c＋h)2
∵a、b、c、h均为正数，∴a＋b＜c＋h

（3）（a+b)2+h2＝a2+b2+2ab+h2
（c+h)2＝c2+h2+2ch
∵a2+b2＝c2，ab＝ch
所以（a+b)2+h2＝(c+h)2
故以a+b，h，c+h为边的三角形是直角三角形