Question

已知函数f(x)=2∧x+λ/2∧x，求奇偶性，当λ≥4时，求证方程f（x）=μ在x∈（-∞，1]上最多有一个实数解

Answer 1

解：
当函数为偶函数时，则有，
f(x)=f(-x)
2^x+λ/2^x=2^(-x)+ λ/2^(-x)
(λ-1)(2^x+1/2^x)=0
所以λ=1
当函数为奇函数，则有
f(-x)=-f(x)
2^(-x)+λ/2^(-x)=-(2^x+λ/2^x)
(λ+1)(2^x+1/2^x)=0
所以λ=-1
综上可知，当λ=1时，函数为偶函数；
当λ=-1时，函数为奇函数：
当λ不等于1和-1时，函数为非奇非偶函数。
（2）
设t=2^x,则t关于x的函数单调递增则
当x∈（-∞，1]
0<t<=2
y=f(x)=2^x+λ/2^x=t+λ/t
任取t1<t2∈（0，2]则
f(t2)-f(t1)=t2+λ/t2-t1-λ/t1=(t2-t1)(1-λ/t1t2)
已知，0<t1t2<4,λ>=4
所以λ/t1t2>1
所以f(t2)-f(t1)<0
所以函数关于t在定义域上单调递减
内函数单调递增，外函数单调递减
所以原函数在x∈（-∞，1]单调递减
所以方程f（x）=μ在x∈（-∞，1]上最多有一个实数解