Question

定积分为什么可以求面积

对于定积分为什么可以求面积 觉得书上证明地不严谨，S=ΣF(xi)*Δxi, 其实运用的中心思想就是让曲边梯形分割成n个小矩形的和。当矩形个数n趋向于无穷多的时候，limΣF(xi)*Δxi=S。从图上直观的看，当矩形的个数越来越多，矩形面积的和自然是接近于曲边梯形的面积的，但是这个值是无限接近么？ 他这不能表明当矩形数量无穷多的时候, 所有矩形面积的和无限趋向的值就是面积呀。如果曲边梯形的面积是10，然后用limΣF(xi)*Δxi的值可能只有9怎么办呢？ 那要证明我这种假设是不可能的就是要证明ΣF(xi)*Δxi的值域是（0，10）

Answer 1

函数曲线在X轴上方与X轴之间的部分求积分是正的
函数曲线在X轴下方与X轴之间的部分求积分则是负的
对被积函数积分时,是对上下方包围面积的代数和；也就是上面正的加上下面负的之和.当被积函数曲线与X轴有交点的时候,X轴下方面积大于X轴上方面积的时候就会得出负数
对函数积分不是简单意义上的求面积.好好学吧,微积分的用处很多,以后你会学到线积分、面积分、体积分等多重积分.刚开始学的时候有点难理解,等慢慢了解其真正的几何意义就简单多了.

追问

其实我要问的是ΣF(xi)*Δxi的极限为什么是曲边梯形的面积。如果曲边梯形面积是S，那么ΣF(xi)*Δxi的值域一定是（某数，S）U（S,某数）。 你如果证明这个结论呢

Answer 2

因为他是一组微小面积的极限和,所以表示面积,三次积分就表示体积了