Question

矩阵AB的积的行列式等于A行列式与B的行列式的积 即 |AB|=|A||B| 其中AB都是n阶方阵

帮忙证明一下

Answer 1

| A 0|
|-E B|＝[按前n行展开]＝|A||B| ① （E为单位矩阵）

注意第三类分块行初等变换不改变行列式的值，第二块行左乘A加到第一块行，

| A 0|
|-E B|＝

| 0 AB|
|-E B|＝[按前n行展开]＝（-1）^t|AB||-E|②

t＝1+2+……+n+（n+1）+（n+2）+……+（n+n）＝n（2n+1）

|-E|＝（-1）^n,注意n（2n+1）+n＝2（n²+n）是偶数。

∴（-1）^t|AB||-E|＝|AB|③

对照①②③，得到：|A||B|＝|AB|