Question

高中数学三角函数 急用 帮忙做下 谢谢！

函数f(x)的定义域关于原点对称且满足以下三个条件：
1。 当x1 x2是f(x)定义域中的数时， 有f(x1-x2)=f(x1)f(x2)+1/f(x2)-f(x1)
2. f(a)=1 (a是一个正的常数）；当0＜x＜2a时，f(x)＞0

1。为题中f(x)寻找一个具体的函数满足这三个条件
2。证明f(x)是奇函数
3。证明f(x)是周期函数，并求其周期。
4。证明f(x)在（0,2a）上为减函数

Answer 1

1、f(x)=-cotx
2、因为f(-x)=-cot(-x)=-(-cotx),所以f(x)是奇函数
3、因为f（kπ+x）=-cot(kπ+x）=-cotx=f(x) k属于整数所以f(x)是周期函数，周期是π
4、f(a)=1 设 a=5π/4 即2a=5π/2 有：（0，5π/2），f(x)>0 x在1，3象限，而cotx是减函数，所以f(x)是增函数
上面的题有误，在f(x2)-f(x1)中应该是f(x1)-f(x2)

Answer 2

y=cotx符合题意。其中a=π/4.
y=cotx=1/tanx,
∵y=tanx是奇函数，∴y=cotx是奇函数。
∵y=tanx的周期是π，∴y=cotx的周期也是π。
∵y=tanx在（0,π/2）上为增函数，∴y=cotx在（0,π/2）上为减函数。