Question

请教高手一道初三数学题

一个正多形的面积是96，边心距为2倍根号6，这是正几边形？求过程

Answer 1

解：正n边形面积S=nad/2
式中 n为边数，a为边长，d为边心距
依题意 na=2S/d=16√6
设该正多边形中心为O，一条边为AB，作OT⊥AB于T，连接OA
在Rt△OAT中，∠AOT=180º/n
∴(a/2)/d=tan(180º/n)
上式两边乘以n得
(na)/(2d)=ntan(180º/n)
即 4=ntan(180º/n)
因此tan(180º/n)必须是整数
故 tan(180º/n)=1
所以 n=4
答：这个多边形是正四边形。

Answer 2

解;设正多边形边数为n，则其面积可表示为n个三角形面积之和：
96=1/2*2√6*a*n=√6*a*n
又根据三角形高、边关系：tg(360/2n)=(a/2)/2√6即4√6tg(180/n)=a
代入上式，得：n*tg(180/n)=4
依次取n=3,4,5,6......当n=4时，等式成立，∴这是正方形。