Question

数学证明题！会的来！过程要详细啊！

如图1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4P是AD上的一点，PE垂直AC 垂足为E，PF垂直BD，垂足为F，则PE+PF的值为————

如图二，D。E。F分别为△ABC的三边的中点，求证：AD与EF互相平分。

如图3 ，△ABC中，BD，CE是△ABC的两条高，点F。M分别是DE，BC的中点，求证：FM垂直DE。

如图4， △ABC中，AB=2，BC=2√3，AC=4，∠C=30度，E F分别在AB，AC上，把△ABC沿EF对折，使点A落在BC上的点D处，且FD垂直BC。
（1）求AD的长；
（2）判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论！

Answer 1

如图1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4P是AD上的一点，PE垂直AC 垂足为E，PF垂直BD，垂足为F，则PE+PF的值为————
解析：在矩形ABCD中，∠DAC=∠ADB
∵AB=3，AD=4P是AD上的一点，PE⊥AC，PF⊥BD
∴sin∠DAC=sin∠ADB=3/5
设AP=x,PD=4-x
∴PE=3x/5，PF=3(4-x)/5
∴PE+PF=12/5

如图二，D、E、F分别为△ABC的BC、AB、AC三边的中点，求证：AD与EF互相平分。
证明：∵D、E、F分别为△ABC的BC、AB、AC三边的中点
连接DE，DF，∴DE//AC, DE=AC/2, DF//AB, DF=AB/2
∴四边形AEDF为平行四边形
∴AD与EF互相平分

如图3 ，△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，点F，M分别是DE，BC的中点，求证：FM垂直DE
证明：在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB
∴在△BCE和△BCD中，∠BEC=∠BDC=90°，BC为公共斜边
∴B、C、D、E共圆
又点F，M分别是DE，BC的中点
∴M为圆心，EM＝DM
∴△MED为等腰三角形
∴FM⊥DE

如图4， △ABC中，AB=2，BC=2√3，AC=4，∠C=30度，E F分别在AB，AC上，把△ABC沿EF对折，使点A落在BC上的点D处，且FD垂直BC。
（1）求AD的长；
（2）判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论！
(1)解析：∵△ABC中，AB=2，BC=2√3，AC=4，∠C=30度
∴AB^2+BC^2=AC^2，△ABC为Rt三角形，∠B=90°
又△AEF≌△DEF，AE=DE，AF＝DF
∵FD⊥BC，∴DF//AE，∴AEDF为平行四边形
∴AE=DF，∴AEDF为菱形
∴⊿BDE∽⊿BCA==>BE/BA=DE/AC
设AE=x，BE=2-x，则DE=x
∴2-x/2=x/4==>x=4/3
由余弦定理知AD=√(AE^2+ED^2-2AE*ED*cos∠AED) =√[2x^2(1-cos∠AED)]
=√{2x^2[1-cos(180-∠BAC)]}
cos∠BAC=1/2==>∠BAC=60°
AD=√{2x^2[1+1/2]}= √(3x^2)= √3x=4√3/3
(2)由（1）知AEDF为菱形

Answer 2

解：1、在PO两点做辅助线PO；
△AOD的面积等于△AOP+△DOP的面积；
1/2*4*3/2=1/2*2.5*PE+1/2*2.5*PF
3=1.25*(PE+PF)
PE+PF=2.4
答：PE+PF等于2.4
2、