Question

求一阶微分方程式子化简

求 步骤，另外想知道这是中学中哪里的知识点

Answer 1

(1). 求微分方程 (x-1)y'=x(y-2)+x²+1的通解；
解：此题不可能直接分离变量，只能用【积分常数变易法】求解。
先求齐次方程 (x-1)y'=x(y-2)的通解：分离变量得 dy/(y-2)=[x/(x-1)]dx;
积分之得 ln(y-2)=∫[x/(x-1)]dx=∫[1+1/(x-1)]dx=x+ln(x-1)+lnc₁
ln[(y-2)-ln(x-1)=x+lnc₁；即ln[(y-2)/(x-1)]=x+lnc₁；故得 (y-2)/(x-1)=c₁e^x；
即齐次方程的通解为：y-2=c₁(x-1)e^x；将c₁换成x的函数u，得y-2=u(x-1)e^x............①
对①取导数得：y'=u'(x-1)e^x+ue^x+u(x-1)e^x............②
将①②代入原式得：u'(x-1)²e^x+u(x-1)e^x+u(x-1)²e^x=ux(x-1)e^x+x²+1;
展开化简得：u'(x-1)²e^x=x²+1; 得u'=(x²+1)/[(x-1)²e^x]=[1+2x/(x-1)²]e^(-x);
故u=∫[1+2x/(x-1)²]e^(-x)dx=-e^(-x)+2∫[x/(x-1)²]e^(-x)dx;
求出此积分【请自己作】再代入①式即得原方程的通解；
(2). 求微分方程 dy/dx=1-x+y²-xy²的通解
解：此方程可分离变量：dy/dx=1-x+(1-x)y²=(1-x)(1+y²)
分离变量得：dy/(1+y²)=(1-x)dx
积分之得arctany=∫(1-x)dx=-∫(1-x)d(1-x)=-(1-x)²/2+c
故得通解为：y=tan[c-(1-x)²/2];