Question

高数问题 连续函数性质

设f(x)在[a,正无穷)上连续，取正值，且lim(x趋近无穷)f(x)=0，证明必存在x0从属[a,正无穷)，使得对一切x从属于[a,正无穷)，均有f(x0)大于等于f(x)

万分感谢。。

Answer 1

任意取x1>a,
因为x----正无穷时,f(x)----0,
故对于正数f(x1),存在正数N, 使x>N时,|f(x)-0|<f(x1), 即f(x1)>f(x)
又在闭区间[a,N]上,应用最大最小值定理:在区间[a,N]至少有一点x2,使f(x2)>=f(x).
由此,若f(x1)>f(x2),则取x0=x1, 这时在[a,正无穷}就有:f(x0)>=f(x).
若f(x1)<=f(x2),则取x0=x2, 这时在[a,正无穷}就有:f(x0)>=f(x).