Question

帮我看看例1这个函数项级数是否一致收敛于下面的S(x)？？

Answer 1

在[0,1)上一致收敛于0

追问

然后Sn(1)又收敛于S(1)

也就是说Sn(x)一致收敛于S(x)?

追答

在x=1这一点不存在一致收敛的概念,一致收敛针对的是一个区间上的所有x,一个点何来"一致"?

追问

我什么时候说Sn(x)在x=1处一致收敛了？

我问的是在区间[0，1]

Sn(x)是否收敛于S(x)

追答

在区间[0,1]上Sn(x)收敛于S(x),但不一致收敛.
只有在区间[0,1)上Sn(x)才一致收敛于S(x)
听懂了吗?

追问

那照你这个说法，x=0时也没有一致收敛这个概念啊，那为什么[0，1)就一致收敛呢？

追答

因为对[0,1)上任意一点都满足定义

追问

那[0，1]上任意一点不也满足定义

追答

x=1这一点不满足定义啊亲，自己动手写一下好吗

追问

看看哪里不符合定义

追答

一致收敛的函数必定在收敛域上连续，你这个在1这点不连续，那就绝对不会一致收敛
注意人家说的是整个X上的上确界，你只研究一个点有什么用。。。请你看看整个X的上确界是多少好吗

不过其实我也蠢了，Sn(x)仅仅在[0,t]上一致收敛，其中t在0和1之间，在区间[0,1)上不一致收敛

追问

这就对了么，要不然Abel第二定理无法解释

我当时问这题的本意都不是上述内容，而是关于一致收敛定义(就是我刚才写的那个定义)的问题。这题只是一个例子，以这题为例，为什么(0，1)上上确界极限是1，我能理解的是:对任意给定的有界n，S(x)是1，但是如果取的是极限，换句话说n是无界的，那么Sn(x)=x∧n在(0，1)上是0，那么上确界也是0了。我就这点不理解

追答

一致收敛的定义并不是你写的那个啊

在(0,1)上x^n上确界是1哦

追问

一致收敛有一个定义就是我写的那个

3°

两本书上都是有这个定义的

“在(0,1)上x^n上确界是1哦”
这句话我是认同的，但是如果按照定义上所说的，还要取n的极限，我就不太好理解了，因为如果n无界，对任意(0，1)上的数，n次方后就是0了

追答

那只是充要条件,并不是定义.
对任意(0,1)的数,n次方之后就是0了,这句话你说的很对,所以我强调了是在[0,t]上一致收敛,其中t∈(0,1).

但因为在(t,1)之间还有无数个数,无论t多么靠近1,都还是无数个数,所以你没办法凭你的直观感觉,你要证明出来(0,1)上非一致收敛.
我先证明[0,t]上一致收敛,其中t∈(0,1).按照一致收敛的定义,我要证明总会有一个N存在,当n>N时,余项rn(x)的绝对值可以小于任意给定的正数E.

首先考虑x=0,那么|rn(x)|=0^n=0lnE/lnx
注意lnE是负的常数.根据反比例函数的性质,kN的时候,对(0,t]上所有的x而言,不等式nlnx<lnE都成立,也就是x^n<E都成立,满足一致收敛的定义.

最后证明为什么(0,1)非一致收敛.你可以看到我在证明(0,t]一致收敛的时候,用到了"而在(0,t]上,lnx的最大值就是lnt"这句话.那我现在就问你,lnx在(0,1)上有最大值吗?没有.既然没有,你找得到相应的N吗?找不到了.

追问

这个解释我明白了，可是我之前写的那个也是定义啊，那个又怎么解释，毕竟n无界

我的书上确实把它标记为定义，而不是一个充要条件

追答

你先看清楚，人家先取上确界，再取极限。
对(0,1)中的任意一个x以及确定的自然数n，x^n上确界都是1，也就是说，无论n为多少，suprn(x)=1，这是个常数列啊，怎么会收敛于0？