Question

当a>0,使关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a,在R上的解集不是空集,求a的取值范围

RT过程老师说|x-3|+|x-4|>1我还想知道这个怎么出来的~谢谢诶！

Answer 1

要使关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a,在R上的解集不是空集，则
a>(|x-3|+|x-4|)min
又|x-3|+|x-4|≥|(x-3)-(x-4)|=1
∴(|x-3|+|x-4|)min=1
∴a>1为所求。
另：|x-3|+|x-4|≥|(x-3)-(x-4)|=1是利用关于绝对值的“三角形不等式”直
接推出的；
也可以对|x-3|+|x-4|分三段讨论推出：
当x<3时， |x-3|+|x-4|=7-2x>1
当3≤x≤4时， |x-3|+|x-4|=1
当x>4时, |x-3|+|x-4|=2x-7>1
∴ |x-3|+|x-4|≥1