Question

已知抛物线y=-mx平方+mx+n与y轴交于点C,与x轴交于A.B两点(点A在点B的左边,且AB=5)

已知抛物线y=-mx平方+mx+n与y轴交于点C，与x轴交于A.B两点（点A在点B的左边，且AB=5）
（1）请你提出对任意m，n值（满足题意）都成立的正确命题，且说明理由；
（2）求A.B两点的坐标
（3）设点B关于点A的对称点为B‘，问：是否存在三角形BCB’为等腰三角形的情形，若存在请求出所有满足条件的n值，若不存在，请直接作出判断，不必说明理由。
（在线等，过程详细，悬赏100分）

Answer 1

1)因为y=-mx^2+mx+n=-m(x-1/2)^2+ m/4 +n
所以可以提出命题：对满足题意的任意m，n值，抛物线的图象总是关于直线x=1/2对称。
2）设A(x1,0),B(x2,0),由对称性可知 x1+x2=1，又已知x2-x1=5,解方程组得：x1=-2,x2=3
3)由2）得：点B（3,0）关于A（-2，0)对称的点B‘坐标为（-7，0），C点的坐标为（0，n),由于CO⊥BB‘但原点0不是BB‘的中点，因而不可能CB‘=CB.
若CB‘=BB‘，则 49+n^2=100,解得，n=±√51
若CB=BB‘， 则 9+n^2=100，解得，n=±√91
因此所有满足条件的n值是：=±√51或=±√91

Answer 2

解：抛物线y=-mx²+mx+n.(一）命题：对任意实数m,n,(m≠0),该抛物线均关于直线x=1/2对称。该命题显然成立，不需说理。（二）∵点A,B在x轴上，|AB|=5,且关于直线x=1/2对称，∴A(-2,0),B(3,0).(三）易知，点B'(-7,0),C(0,n).数形结合可知，若⊿BCB'为等腰⊿，必有|B'C|=|B'B|=10或|CB|=BB'|=10..∴由两点间距离公式得:n=±√51.或n=±√91.