Question

求解高数多元函数微分学的一道证明题

Answer 1

解答：
e^(x-1)＞x^n/n！在n=1时立
假充e^(x-1)＞x^n/n！在n=k时成立
即e^(x-1) > x^k/k!
e^(x-1) - x^k/k! >0
则当n=k+1时
z(x) = e^(x-1)-x^(k+1)/(k+1)！
z1(x) = e^(x-1) - (k+1)x^k/(k+1)!
= e^(x-1) - x^k/k!>0
由上一步n=k时的结论
当x∈（1，+∞）时
z1(x)恒大于0
所以z(x)恒递增
所以z(x)>z(1)= 1 -1^(k+1)/(k+1)！=1-1/(k+1)!>0
所以e^(x-1)＞x^(k+1)/(k+1)！
f'(x)>=0单调递增，
f'(x)<=0单调递减，
f'(x)=2(a+ax-x^2)/x
=2[-(x-a/2)^2+a+a^2/4]/x
a+a^2/4<=0,f'(x)<=0单调递减
此时-4<=a<=0
当a>0或a<-4时
0<x<(a+根号(a^2+4a))/2
f'(x)>0单调递增，
x>=(a+根号(a^2+4a))/2
单调递减
2.当a>0函数先增后减，
且都趋向于负无穷
所以x只能为(a+根号(a^2+4a))/2时有唯一零点