Question

用导数求函数单调区间

已知f(x)=x|x-a|-2.求a>0,f(x)的单调区间。若x属于[0，1]恒有f(x)<0，求a的取值范围

Answer 1

这是二次函数问题，不必用求导，当然求导也没问题。

1. a>0。x>=a时f(x)=x(x-a)-2，这个抛物线开口向上，顶点横坐标a/2<a（这个求导也能求出来）。这时f(x)在[a，+∞）单调增。
x<=a时f(x)=x(a-x)-2.这个抛物线开口向上，顶点横坐标a/2<a这时f(x)在(-∞,a/2]单调增，在[a/2，a]单调减。
综上，a>0时，f(x)在(-∞,a/2]单调增，在[a/2，a]单调减，在[a，+∞）单调增。

2.这里有a>0的限制吗？我就当没有做吧~分情况讨论。f(0)=-2<0
a<=0时，f(x)在[0,1]表达式为x(x-a)-2，单调上升，所以题中要求<=>f(1)<0,即a>-1.此时-1<a<=0.

a>0时，f(x)在[0,a]内表达式为x(a-x)-2，其最大值为f(a/2)=a^2/4-2. f在[a，+∞）单调增。
若0<a<1,f(1)=-1-a<0,f(a/2)=a^2/4-2<0。由已得到的单调性可知题意恒成立。
若1<=a<=2,f在[0,1]最大值为f(a/2)=a^2/4-2<0,题意恒成立。
若a/2>=1,则f在[0,1]单调增。此时题中要求<=>f(1)<0，即a<3。

综上，a取值范围(-1,3)

另：这种题最好画个图，用直观帮助分析，包括应该如何分情况。否则光用式子推就太头疼了

Answer 2

若x≤a,则f(x)=x2-ax-2,f′(x)=2x-a,
稍候。