Question

二次幂数列的求和公式怎么推导

Answer 1

1²+2²+...+n²=XX

因为 (a+1)³-a³=3·a²+3·a+1得

2³-1³=3·1²+3·1+1 

(n+1)³-n³=3·n²+3·n+1 (n)

将上面n个等式相加

(n+1)³-1³=3(1²+2²+...+n²)+3(1+2+...+n)+n

3(1²+2²+...+n²)=(n+1)³-1-3n(n+1)/2-n

3(1²+2²+...+n²)=n(n+1)(2n+1)/2

所以1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

数列的函数理解：

①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

Answer 2

1²+2²+...+n²=?
因为 (a+1)³-a³=3·a²+3·a+1,得
2³-1³=3·1²+3·1+1 (1)

3³-2³=3·2²+3·2+1 (2)
...
(n+1)³-n³=3·n²+3·n+1 (n)
将上面n个等式相加:
(n+1)³-1³=3(1²+2²+...+n²)+3(1+2+...+n)+n
3(1²+2²+...+n²)=(n+1)³-1-3n(n+1)/2-n
3(1²+2²+...+n²)=n(n+1)(2n+1)/2
所以1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

追问

谢谢，看懂了