Question

已知函数f(x)对一切实数x.y，都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立，且f(1)=0。 （一），求f(0)的值 ...

已知函数f(x)对一切实数x.y，都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立，且f(1)=0。 （一），求f(0)的值 （二），求f(x)的解析式 （三），已知a？R，设P：当0<x<1/2时，不等式f(x)+3<2x+a恒成立:Q：当x？[-2,2]时，g(x)=f(x)-ax是单调函数，如果满足P成立的的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A交CrB（其中R为全集）

Answer 1

(1)将X设为1，Y设为0代入原函数中，可得F(1)-F(0)=2,即F(0)=-2；(2)令y=1 f(x+1)-f(1)=x(x+2+1) f(x+1)=x(x+3)=(x+1-1)(x+1+2) f(x)=(x-1)(x+2）=x^2+x-2 (3)由题意得，x^2+x-2+3-2x<a 即x^2-x+1<a 令u(x)=x^2-x+1 x∈(0,1/2) 则 u(x)∈(3/4,1) 当x=0，u(x)max=1 所以a>=1 g(x)=x^2+x-2-ax=x^2+(1-a)x-2 由数形结合可知，对称轴x=-(1-a)/2小于或等于-2 或大于或等于2，解得a小于等于-3或大于等于5 CRB∈(-3,5) A交CRB∈[1,5)（这里集合没法打出来，将就点用区间表示）

Answer 2

解：（一）设x=1，y=0因为f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)，所以f(1+0)-f(0)=1(1+0+1)，即f(1)-f(0)=2，又f(1)=0，则f(0)=-2
（二）设y=0，带入，得f(x）-f(0)=x(x+1)，f(x）=x(x+1)-2
(三)f(x)+3<2x+a，把f(x）=x(x+1)-2带入，得x^2+x+1<2x+a,即x^2-x+1-a<0在0<x<1/2时恒成立，函数对称轴为-b/2a=1/2，又开口向上，满足x=0时x^2-x+1-a<=0即可，得a>=1
g(x)=f(x)-ax=x^2+(1-a)x-2,x在[-2,2]上单调，则对称轴-b/2a<=-2或>=2,即（a-1）/2 <=-2或>=2,求得a<=-3或a>=5,B的补集中-3<a<5
则A交CrB={a|1<=a<5}

Answer 3

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