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都和重要极限 e 有关。 1)记 f(x) = [(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x),则 lim(x→0)lnf(x) = lim(x→0)[ln(a^x+b^x+c^x)-ln3]/x (0/0型,用洛必达法则) = lim(x→0)[(a^x)lna+(b^x)lnb+(c^x)lnc)/(a^x+b^x+c^x) = (lna+lnb+lnc)/3 = ln(abc)^(1/3),即 lim(x→0)f(x) = (abc)^(1/3)。 2)记 g(x) = (sinx)^tanx 则 lim(x→π/2)lng(x) = lim(x→π/2)tanxlnsinx = lim(x→π/2)sinx*lim(x→π/2)(lnsinx/cosx) (0/0) = 1*lim(x→π/2)[(cosx/sinx)/(-sinx)] = 0,所以 lim(x→π/2)g(x) = 1。
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