Question

a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2) =（a-b)(b-c)(c-a)

这个是怎么得来的
a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)
=（a-b)(b-c)(c-a)

Answer 1

两个条件代入验证。以(1)为例，a=b+10代入，可以化简到(b-c+5)^2+75，这个式子，有且仅当b-c+5=0时取得最小值，那么与题设最小值75符合。如果是条件(2)，你注意下式子结构，是不是可以把条件式的b换成a，c换成b?因为题目完全没有指定a,b,c的范围，再加上式子中平方项，杂项结构是完全一致的，这种条件就是可以直接互换的，(2)就是(1)

Answer 2

解法一：
a(b²-c²)+b(c²-a²)+c(a²-b²)
=a(b²-c²)+b[(c²-b²)-(a²-b²)]+c(a²-b²)
=a(b²-c²)-b(b²-c²)-b(a²-b²)+c(a²-b²)
=(a-b)(b+c)(b-c)-(b-c)(a+b)(a-b)
=(a-b)(b-c)[(b+c)-(a+b)]
=(a-b)(b-c)(c-a)
解法二：
a(b²-c²)+b(c²-a²)+c(a²-b²)
=ab²-ac²+bc²-a²b+a²c-b²c
=(a²c-b²c)-(ac²-bc²)-(a²b-ab²)
=c(a²-b²)-c²(a-b)-ab(a-b)
=c(a+b)(a-b)-c²(a-b)-ab(a-b)
=(a-b)[c(a+b)-c²-ab]
=(a-b)(ac+bc-c²-ab)
=(a-b)[(bc-c²)-(ab-ac)]
=(a-b)[c(b-c)-a(b-c)]
=(a-b)(b-c)(c-a)

追问

(a-b)[c(b-c)-a(b-c)]=(a-b)(b-c)(c-a)怎么来的呀

Answer 3

最后一项的分母可能应为（a-b）(a-c)
a^2-b^2/(a-b)(a-c)+c^2-b^2/(a-b)(c-a)
=(a^2-b^2)/[(a-b)(a-c)]+(c^2-b^2)/[(a-b)(c-a)]
=(a^2-b^2)/[(a-b)(a-c)]+(b^2-c^2)/[(a-b)(a-c)]
通分
=(a^2-b^2+b^2-c^2)/[(a-b)(a-c)]
=[(a+c)(a-c)]/[(a-b)(a-c)]
约分
=(a+c)/(a-b)
代入a=3,b=-2,c=-1
=2/5