Question

求函数y=√（5x+3）+√（5-3x）的最小值

用代数变形，换元等的方法解，二次函数的增减性

Answer 1

求函数y=√(5x+3)+√(5-3x)的最小值.
y=√(5x+3)+√(5-3x), -3/5≤x≤5/3
设u=√(5x+3),v=√(5-3x)
得 3u²+5v²=34,且u≥0,v≥0
y=u+v
再设u=(√102/3)cosθ,v=(√170/5)sinθ,0≤θ≤π/2
y=(√102/3)cosθ+(√170/5)sinθ
=(√170/5)sinθ+(√102/3)cosθ
=(4√255/15)sin(θ+φ)
其中0≤θ≤π/2,φ是满足tanφ=√15/3的锐角
得当θ=0或θ=π/2时取最小值
θ=0时,y=√102/3,θ=π/2时,y=√170/5
而√170/5<√102/3
得θ=π/2 即u=0,v=√170/5,也即x=-3/5时
y取最小值√170/5
所以 函数y=√(5x+3)+√(5-3x)的最小值是√170/5
注:本题也可求出y的最大值4√255/15.

Answer 2

解：由题可知：5x+3>=0 5-3x>=0 所以：-3/5<=x=<5/3
原式=√（5x+3）+√（5-3x）>=2√√(5x+3)*√√(5-3x) 当 5x+3 = 5-3x时等号成立
此时x=1/4 有效，所以此时y = √(17/2)