Question

微分方程 第49题中的A是怎么直接解出来的？

我每次设出来这个特解方程后，都需要对特解方程求一阶导数再求二阶导数，最后带入到原方程中通过化简约分解出A。感觉太麻烦，谢谢回答

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Answer 1

49.y''+4y'+4y=0的通解是y=(c1+c2x)e^(-2x),
若a≠-2,则设y=me^(ax)是y''+4y'+4y=e^(ax)①的解，
y'=ame^(ax),y''=a^2*me^(ax),
代入①，两边都除以e^(ax),得a^2m+4am+4m=1,
m=1/(a^2+4a+4),
所以①的通解是y=(c1+c2x)e^(-2x)+[1/(a^2+4a+4)]e^(ax);
若a=-2,设y=nx^2e^(-2x)是①的解，
则y'=n(2x-2x^2)e^(-2x),
y''=n(2-8x+4x^2)e^(-x).代入①，两边都乘以e^(2x),得
n(2-8x+4x^2)+n(8x-8x^2)+4nx^2=1,
解得n=1/2，
所以①的通解是y=(c1+c2x+x^2/2)e^(-2x).

追问

感谢您的回答，但是您说的这种方法我会，只是我不知道A有什么可以更简答的解法。

Answer 2

1. 因为已经设了y=Ae^(ax),把y'',y'求出后代入方程，比较系数就可以求出A了。没有办法，耐心一点，细心一点！话说是数学教材上就是这么操作的。别无他法！

追问

好的，谢谢您的解答