Question

一道高数证明题？

设fx在［a，b］上二阶可导，且fx的二阶导≥0，证明fx在（a,b）内为凹函数

Answer 1

过程如图请参考，此题是拉格朗日中值定理的运用

追答

目标的不等式就是凹函数的定义

Answer 2

设x1和x2是[a,b]内任意两点，且x1<x2，
记(x1+x2)/2=x0, 并记x2-x0=x0-x1=h，
则x1=x0-h,x2=x0+h，也就是x0是x1,x2中点
由拉格朗日中值定理得
f(x0+h)-f(x0)=f'(x0+θ1h)h；f(x0)-f(x0-h)=f'(x0-θ2h)h，
其中0<θ1<1,0<θ2<1。
两式相减，得
f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)=[f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)]h。
对f(x)在区间[x0-θ2h,x0+θ1h]上再利用拉格朗日中值定理，得
f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)=f"(ξ)(θ1+θ2)h，
其中x0-θ2h≤ξ≤x0+θ1h。
因为f"(ξ)>0，
所以f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0) = [f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)]h = f"(ξ)(θ1+θ2)h^2>0 ，
即[f(x0+h)+f(x0-h)]/2>f(x0)
亦即[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]
所以f(x)在[a,b]内为凹函数。

Answer 3

Answer 4

可以解决很多科研问题