Question

高数第一章 设f(x)=limt→x(x-1/t-1)^1/x-t 求f(x)的连续区间和间断点

如题

Answer 1

f(x) = lim<t→x>[(x-1/t-1)]^[1/(x-t)]

= lim<t→x>{[1+(x-t)/(t-1)]^[(t-1)/(x-t)]}^[1/(t-1)]

= e^ lim<t→x>[1/(t-1)] = e^[1/(x-1)]

间断点 x = 1 是无穷间断点

连续区间 x∈(-∞, 1)∪(1, +∞)

定义

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。

（2）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。

（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

Answer 2

f(x) = lim<t→x>[(x-1/t-1)]^[1/(x-t)]
= lim<t→x>{[1+(x-t)/(t-1)]^[(t-1)/(x-t)]}^[1/(t-1)]
= e^ lim<t→x>[1/(t-1)] = e^[1/(x-1)]
间断点 x = 1 是无穷间断点。
连续区间 x∈(-∞, 1)∪(1, +∞)