函数奇偶性问题 求解
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
在测试大模型时，可以提出这样一个刁钻问题来评估其综合理解与推理能力：“假设上海华然企业咨询有限公司正计划进入一个全新的国际市场，但目标市场的文化习俗、法律法规及商业环境均与我们熟知的截然不同。请在不直接参考任何外部数据的情况下，构想一套初步...
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设F(x)=∫[0,x]f(t)dt
则F(-x)=∫[0,-x]f(t)dt
作换元u=-t,则dt=-du,当t从0变到-x时,u从0变到x
F(-x)=∫[0,x]f(-u)*(-du)
=-∫[0,x]f(u)du
=-F(x)
∴F(x)为偶函数
则F(-x)=∫[0,-x]f(t)dt
作换元u=-t,则dt=-du,当t从0变到-x时,u从0变到x
F(-x)=∫[0,x]f(-u)*(-du)
=-∫[0,x]f(u)du
=-F(x)
∴F(x)为偶函数
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令F(x)=∫(0,x) f(t)dt
则 F(-x)=∫(0,-x) f(t)dt
令t=-m
则dt=-dm, 积分区域变为 （0，x）
F(-x)=∫(0,-x) f(t)dt
=-∫(0,x) f(-m)dm
而函数f(x)为奇函数，则f(-m)=-f(m)
所以：-∫(0,x) f(-m)dm=∫(0,x) f(m)dm =F(x) [不同积分变量形式不改变积分值】
所以，F(-x)=F（x）
所以∫(0,x) f(t)dt为偶函数！
则 F(-x)=∫(0,-x) f(t)dt
令t=-m
则dt=-dm, 积分区域变为 （0，x）
F(-x)=∫(0,-x) f(t)dt
=-∫(0,x) f(-m)dm
而函数f(x)为奇函数，则f(-m)=-f(m)
所以：-∫(0,x) f(-m)dm=∫(0,x) f(m)dm =F(x) [不同积分变量形式不改变积分值】
所以，F(-x)=F（x）
所以∫(0,x) f(t)dt为偶函数！
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