Question

高数，微分方程求解

求解大神

Answer 1

解：通解为y＝e^x*(C1cosx+C2sinx)+e^x+x+1
y''-2y'+2y＝e^x+2x为二阶常系数非齐次线性微分方程
①其对应的齐次方程为y''-2y'+2y＝0，特征方程r²-2r+2=0，r=1±i(共轭复根)
∴齐次方程通解y0=e^x*(C1cosx+C2sinx)
②y''-2y'+2y＝e^x，设其特解是y1=ae^x
则y1''＝y1'＝y1＝ae^x,代入方程,得：ae^x＝e^x
∴a＝1，特解为y1=e^x
③y''-2y'+2y＝2x，设其特解是y2=bx+c
则y2'＝b，y2''＝0，代入方程得-2b+2bx+2c＝2x
∴b=1，c＝1，特解为y2=x+1
y''-2y'+2y＝e^x+2x的通解为y＝y0+y1+y2，
即为y＝e^x*(C1cosx+C2sinx)+e^x+x+1。

Answer 2

y''-2y'+2y =e^x +2x
The aux. equation
p^2-2p+2 =0
p=1+i or 1-i
let
yg= e^x .( Acosx + Bsinx)
let
yp= (Cx+D)e^x +Ex+F
yp'=[Cx+(C+D)]e^x +E
yp''= [ Cx+(2C+D) ]e^x
yp''-2yp'+2yp =e^x +2x
[ Cx+(2C+D) ]e^x -2{[Cx+(C+D)]e^x +E} +2[(Cx+D)e^x +Ex+F] =e^x +2x
De^x +2Ex + ( -2E+2F) =e^x +2x
D=1, E=1 , F=1
yp= (Cx+1)e^x +x+1
y''-2y'+2y =e^x +2x 的通解
y=yg+yp = e^x .( Acosx + Bsinx) + (Cx+1)e^x +x+1

Answer 3

如上图所示。

Answer 4

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