Question

范德蒙德行列式缺一行

证明

Answer 1

利用加边的方法，少范德蒙行列式哪一行就加哪一行，然后旁边多加出一列。

例如行列式如下： （缺行的类似范德蒙行列式）

1 1 1 1

a b c d

a＾2 b＾2 c＾2 d＾2

a＾4 b＾4 c＾4 d＾4

我们利用加行的方法来解决这个问题．

加完行行列式变成5行5列,如下:

1 1 1 1 1

a b c d x

a＾2 b＾2 c＾2 d＾2 x＾2

a＾3 b＾3 c＾3 d＾3 x＾3

a＾4 b＾4 c＾4 d＾4 x＾4

这就成了标准的范德蒙行列式

利用行列式展开法则，按第5列展开，得到的展开式如下：

A15 ＋ （－A25） ＊ x ＋ A35 ＊ x＾2 ＋ （－D） ＊ x＾3 ＋ A55 ＊ x＾4 ［其中A为代数余子式，D为前面的四阶行列式的值］

由范德蒙行列式计算公式，得出该五阶行列式的值为：

（b－a）（c－a）（c－b）（d－a）（d－b）（d－c）（x－a）（x－b）（x－c）（x－d）

它和上面的展开式相等，我们所需要的是行列式D的值，所以我们需要算的就是展开式中x＾3的系数，所以得出D＝（a＋b＋c＋d）（b－a）（c－a）（c－b）（d－a）（d－b）（d－c）

扩展资料：

范德蒙德行列式知识点见下图：

一个e阶的范德蒙行列式由e个数c₁，c₂，…，cₑ决定。

它的第1行全部都是1，也可以认为是c₁，c₂，…，cₑ各个数的0次幂，它的第2行就是c₁，c₂，…，cₑ（的一次幂），它的第3行是c₁，c₂，…，cₑ的二次幂，它的第4行是c₁，c₂，…，cₑ的三次幂，…，直到第e行是c₁，c₂，…，cₑ的e-1次幂。

参考资料来源：百度百科-范德蒙行列式

Answer 2

请参考下图的解答过程。增加一行一列，凑成范德蒙行列式，并利用其中x^(n-1)的系数间接求出原来的行列式。