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令h(x)=f(x)-g(x),则h(x)在[a,b]上连续,h(a)=f(a)-g(a)>0,h(b)=f(b)-g(b)<0
根据零点存在定理,存在ξ∈(a,b)使得h(ξ)=0
也就是f(ξ)=g(ξ)
因此y=f(x)与y=g(x)在(a,b)上至少有一个交点
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令g(x)=f(x)-f(x+a),则g(x)在[0,1-a]上连续,
g(0)=f(0)-f(a)=-f(a)≤0
g(1-a)=f(1-a)-f(1)=f(1-a)≥0
若g(0)=0,则有ε=0时,f(ε)=f(ε+a)
若g(1-a)=0,则有ε=1-a时,f(ε)=f(ε+a)
若g(0)和g(1-a)均不为0,也就是说g(0)<0,g(1-a)>0
根据零点存在定理,存在ε∈(0,1-a)使得g(ε)=0
也就是f(ε)=f(ε+a)
综上所述命题得证
令h(x)=f(x)-g(x),则h(x)在[a,b]上连续,h(a)=f(a)-g(a)>0,h(b)=f(b)-g(b)<0
根据零点存在定理,存在ξ∈(a,b)使得h(ξ)=0
也就是f(ξ)=g(ξ)
因此y=f(x)与y=g(x)在(a,b)上至少有一个交点
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令g(x)=f(x)-f(x+a),则g(x)在[0,1-a]上连续,
g(0)=f(0)-f(a)=-f(a)≤0
g(1-a)=f(1-a)-f(1)=f(1-a)≥0
若g(0)=0,则有ε=0时,f(ε)=f(ε+a)
若g(1-a)=0,则有ε=1-a时,f(ε)=f(ε+a)
若g(0)和g(1-a)均不为0,也就是说g(0)<0,g(1-a)>0
根据零点存在定理,存在ε∈(0,1-a)使得g(ε)=0
也就是f(ε)=f(ε+a)
综上所述命题得证
更多追问追答
追问
第四题开头为什么在(0,1-a)
上连续?
追答
因为f(x)在[0,1]上连续,所以f(x+a)在[-a,1-a]上连续
因此g(x)=f(x)-f(x+a)在[0,1]和[-a,1-a]的交集上连续,也就是[0,1-a]上连续
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