Question

高等数学函数？

求第三题和第四题的详细过程，谢谢

Answer 1

3
令h(x)=f(x)-g(x)，则h(x)在[a,b]上连续，h(a)=f(a)-g(a)>0，h(b)=f(b)-g(b)<0
根据零点存在定理，存在ξ∈(a,b)使得h(ξ)=0
也就是f(ξ)=g(ξ)
因此y=f(x)与y=g(x)在(a,b)上至少有一个交点
4
令g(x)=f(x)-f(x+a)，则g(x)在[0,1-a]上连续,
g(0)=f(0)-f(a)=-f(a)≤0
g(1-a)=f(1-a)-f(1)=f(1-a)≥0
若g(0)=0，则有ε=0时，f(ε)=f(ε+a)
若g(1-a)=0，则有ε=1-a时，f(ε)=f(ε+a)
若g(0)和g(1-a)均不为0，也就是说g(0)<0，g(1-a)>0
根据零点存在定理，存在ε∈(0,1-a)使得g(ε)=0
也就是f(ε)=f(ε+a)
综上所述命题得证

追问

第四题开头为什么在（0，1-a）
上连续？

追答

因为f(x)在[0,1]上连续，所以f(x+a)在[-a,1-a]上连续
因此g(x)=f(x)-f(x+a)在[0,1]和[-a,1-a]的交集上连续，也就是[0,1-a]上连续

追问

因为f(x)在[0,1]上连续，所以f(x+a)在[-a,1-a]上连续
这是什么原理？我们老师好像还没讲…

追答

这是高中知识。。。f(x)的定义域为[0,1]

那么f(x+a)的定义域为[-a,1-a]

因此当f(x)在[0,1]上连续时，f(x+a)在[-a,1-a]上连续

简单来说就是f(x+a)就是把f(x)的图像向左平移了-a个单位
显然连续性不变

追问

请问两个函数四则运算之后的函数都在这两个函数的并集连续吗？比如说A=B*C A在B和C上的并集连续？

打错 交集

追答

加减乘是的，除法例外。因为除法要考虑分母为零的情况

追问

我看了看第四题的题目，要求的是【0，1】时，证明f（x）
=f（x+a），你给的答案貌似是【0，1-a】？

追答

大哥啊，因为a∈[0,1]
所以[0,1-a]是[0,1]的子集
所以当ε∈(0,1-a)时，ε∈(0,1)