Question

高等数学微积分

求解图中双重积分，万分感谢！！！！！！

Answer 1

积分域 D 是直线 x = 2， y = 1 与坐标轴围成的矩形。
x = 2 化为极坐标是 r = 2sect， y = 1 化为极坐标是 r = csct。
被积函数化为极坐标是
rcost rsint r^2[(cost)^2-(sint)^2]/r^6
= (1/2)sin2tcos2t/r^2 = (1/4)sin4t/r^2
原二重积分变换为极坐标表示为
I = ∫<0, arctan0.5>dt∫<0, 2sect>(1/4)(sin4t/r^2)r^2sintdr
+ ∫<arctan0.5, π/2>dt∫<0, csct>(1/4)(sin4t/r^2)r^2sintdr
= (1/4)∫<0, arctan0.5>sin4tsintdt∫<0, 2sect>dr
+ (1/4)∫<arctan0.5, π/2>sin4tsintdt∫<0, csct>
= (1/2)∫<0, arctan0.5>(sin4tsint/cost)dt + (1/4)∫<arctan0.5, π/2>sin4tdt
= 2∫<0, arctan0.5>cos2t(sint)^2dt + (1/16)[cos4t]<arctan0.5, π/2>
= ∫<0, arctan0.5>cos2t(1-cos2t)dt + (1/16)(1+7/25)
= ∫<0, arctan0.5>[cos2t-(cos2t)^2]dt + 2/25
= ∫<0, arctan0.5>[cos2t-1/2-(1/2)cos4t]dt + 2/25
= (1/2)[sin2t-t-(1/4)sin4t]<0, arctan0.5> + 2/25
= 7/25 - (1/2)arctan(1/2) + 2/25 = 9/25 - (1/2)arctan(1/2)

追问

想问下极坐标为什么用正余割函数，x = 2 化为极坐标是 r = 2sect， y = 1 化为极坐标是 r = csct，可不可以详细一下极坐标的表达解释，极坐标的圆半径是多少，还有t的取值范围？
另外积分上下限(0，arctan0.5)、（arctan0.5, π/2）是怎么得来的，
非常感谢！！

追答

x = 2, rcost = 2, r = 2/cost = 2sect
y = 1, rsint = 1, r = 1/sint = csct
你自己要画一下图：
积分域 D 是直线 x = 2， y = 1 与坐标轴围成的矩形，
过原点作对角线，此对角线与x 轴夹角 arctan(1/2) 即 arctan0.5。
将 D 分为两部分：
右下三角形区域： 0 ≤ t ≤ arctan0.5, 0 ≤ t ≤ 2sect;
左上 三角形区域：arctan0.5 ≤ t ≤ π/2, 0 ≤ t ≤ csct。

Answer 2

我连初中都没有毕业的人，是给你解答不了这个问题的，留给下一个人去给你回答吧，我看看热闹就行了，跟着学的知识。

Answer 3

两个二重积分的范围相同，均为图中阴影部。其余过程如图请参考。

追答

They are the same

追问

题目里不是说用变量变换公式计算来证明它们是不同的吗？

追答

第一，它们最后算出来的值肯定是相同的，就像我证明的一样。第二，我觉得这里应该是用交换积分顺序把，光换元没办法作比较，还是说你现在是要对比两个积分式子的区别，不用管积分的值（类似2-1=1-0=1，但是这两个式子的减数和被减数不同？）

追问

为什么这两个积分结果是一样的呢，能给下计算过程吗？
另外题目里是说用变量变换计算呢？

追答

另一个答案一样，利用我第一幅图中的交换积分顺序可知。