Question

设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其值域包含于[a，b]，证明f（x）在闭区间[a，b]上？

必有不动点,即存在c属于[a，b]，使得f（c）=c，详细过程

Answer 1

设t=(2ⅹ²+ax+b)/(x²+1)，则
(t-2)x-ax+t-b=0.
判别式△≥0，故
(-a)²-4(t-2)(t-b)≥0，
即4t²-4(b+2)t+8b-a²≤0 ··· ···①
而f(x)=t∈[1，3]，
∴(t-1)(t-3)≤0，
即t²-4t+3≤0 ··· ···②
显然①、②为同解不等式，
即各项系数成比例，故
4:1=4(b+2):4=(8b-a²):3.
解得，a=±2，b=2。