Question

在三角形ABC中，若a=5,b=4,且cos（A－B）=31/32,求c的长

Answer 1

如图，作BD=AD，得到∠（A-B）。

设AD=x，由余弦定理，计算可得x=4，恰好也是一个等腰三角形。

很方便计算得到cosC=1/8。再用余弦定理，解得c=6

Answer 2

根据公式和三角形内角和180°得到

cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB （1）

cos(A+B)= cosAcosB-sinAsinB=cos(180-C) （2）
（1）和（2）左右两边相加得到

cos(A-B)+cos(180-C)=2cosAcosB
cos(180-C) = cos180cosC+sin180sinC =-cosC
所以 cos(A-B)-cosC = 2cosAcosB
所以 31/32 - cosC = 2cosAcosB
根据余弦定理得到
31/32 - （a2+b2-c2）/2ab = (b2+c2-a2)/2bc* (a2+c2-b2)/2ac*2
因为a=5,b=4
所以得到 31/32 - (41-c2)/40 = (c2-9)/8c*(c2+9/10c)*2
(41c2-81)/40c2 = 31/32

1240c2 = 1312c2 -81*32
81*32 = 72c2
c=+-6
因为是三角形边，所以c>0.所以c=6

Answer 3

看图片