Question

求(x+y^2)dy/dx=y满足初始条件y|x=3=1的特解

希望有详细过程 谢谢~~

Answer 1

解：∵(x+y^2)dy/dx=y ==>y^2dy=ydx-xdy
==>dy=(ydx-xdy)/y^2
==>dy=d(x/y)
==>y+C=x/y (C是积分常数)
∴原方程的通解是x/y=y+C (C是积分常数)
∵当x=3时，y=1
∴代入通解得3=1+C ==>C=2 ==>x/y=y+2 ==>x=y(y+2)
故原方程满足初始条件y|x=3=1的特解是x=y(y+2)。

Answer 2

先整理一下有
xdy-ydx + y²dy =0

两边除以y²有

(xdy-ydx)/y² + dy =0

即 d(x/y) + dy =d(x/y+y)=0

这是一个全微分方程 所以
通解为 x/y+y=C,
另外y=0也是方程的解

代入x=3 y=1有
3/1+1 =C,C=4
所以特解为 x/y+y=4

Answer 3

(x+y^2)dy=ydx
y^2dy=ydx-xdy
dy=(ydx-xdy)/y^2
dy=d(x/y)
显然y+c=x/y，得x=y^2+cy
根据y|x=3=1，有c=2
可知x=y^2+2y