Question

已知函数f（x）=2∧x+λ／2∧x，（x∈R，λ∈R）

①讨论函数f（x）的奇偶性，
②当λ≥4时，求证方程f（x）=μ（μ∈R）在x∈（-∞，1]上至多有一个实数解。
希望能写清楚步骤，还有希望快点解答，谢谢了

Answer 1

1、f（x）＝2^x+λ／（2^x）
f（－x）＝2^（-x）+λ／（2^-x）＝1/2^x+λ*2^x
如果是偶函数，则f（x）＝f（－x），容易算出λ＝1；
如果是奇函数，则f（x）＝-f（－x），容易算出λ＝-1。
所以，当λ＝1时f（x）是偶函数；当λ＝-1时f（x）是奇函数；其他情况下既非偶函数也非奇函数。
2、令y＝2^x，x∈（-∞，1]等价于y∈（0，2]。
原题转化为证明y+λ/y＝μ在y∈（0，2]上至多有一个实数解。
该方程进一步转化为：y^2-μ*y+λ＝0，
如果有实数解，则y1*y2=λ≥4，
1）假如y1=y2=2,则只有1个实数解；
2）假如y1和y2不相等，且都∈（0，2]，则0<y1*y2<4,这与y1*y2=λ≥4矛盾。
所以y+λ/y＝μ在y∈（0，2]上至多有一个实数解，所以方程f（x）=μ（μ∈R）在x∈（-∞，1]上至多有一个实数解。

Answer 2

①:f(-x) = 2^(-x) +λ/2^(-x) = λ2^x + 1/2^x
当λ = 1时，f(-x) = f(x),f(x)为R上的偶函数
当λ =-1时，f(-x) =-f(x),f(x)为R上的奇函数
②当λ≥4时，方程f（x）=μ
即2^x +λ/2^x -μ =0
令g(x) =2^x +λ/2^x -μ,则
g'(x) = ln2[2^x -λ2^(-x)] = 0
==>x = 1/2log2(λ)≥1
当 x>1/2log2(λ)时，g'(x) <0,g(x)单减
当 x<1/2log2(λ)时，g'(x) >0,g(x)单增
且g[1/2log2(λ)] = 2√λ -μ
x∈（-∞，1]时：当2√λ -μ≥0 时，g(x)=0有且只有一个零解
当2√λ -μ<0 时,g(x)=0没有零解
所以方程f（x）=μ（μ∈R）在x∈（-∞，1]上至多有一个实数解