Question

设A为mxn矩阵，B为nxm矩阵，则当m>n时，矩阵AB的秩为什么小于m

Answer 1

A为mxn矩阵，B为nxm矩阵,
那么AB为m×m的方阵
由矩阵的不等式可以知道，
r(AB)≤min(r(A),r(B))
即AB的秩小于等于A和B秩的最小值，
现在m>n
那么n×m的矩阵B，其秩当然是小于m的，
于是r(A)和r(B)最小值也小于m
故AB的秩小于等于r(A)和r(B)的最小值，
当然是小于m的

Answer 2

矩阵a的秩不可能大于它两维尺度(m,n)中最小的那个
所以r(a)<=n,
r(b)<=n
而r(ab)<=min(r(a),r(b))<=n