Question

求此定积分的应用题目的详细解题过程。

Answer 1

解：(1)设切线l过曲线C上的点坐标为（a,b），则满足：
b=e^a
(1)
切线斜率为：k=e^a
则直线l方程为：y=(e^a)*x
(2)
又l过点（a,b），则：b=(e^a)*a
(2)
联立(1)(2)，可解得：a=1,b=e
直线l方程为：y=e*x
所以面积为：
S=∫(e^x-e*x)dx（积分范围从0到1）
=e^x-0.5e*x^2|(x=1)-e^x-0.5e*x^2|(x=0)
=0.5e-1
(3)旋转体体积:
曲线下面积所旋转形成体积:
V1=∫[0,1]π(e^x)^2dx=(π/2)e^(2x)|[0,1]=(π/2)(e^2-1)
直线形成的圆锥体积:
V2=∫[0,1]π(ex)^2dx=(πe^2x^3)/3|[0,1]=πe^2/3
旋转体体积:
V=V1-V2=(π/2)(e^2-1)-πe^2/3=(π/6)e^2-(π/2)=(π/6)(e^2-3)