Question

设函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2若当x>=0时f(x)>=0,求a的取值范围

Answer 1

f(x)=x(e^x-1)-ax2
所以f’(x)=e^x(x+1)-2ax-1
而f(0)=0要使f(x)>=在x>=0上恒成立
则f’(x)>=0要恒成立
即e^x(x+1)-2ax-1>=0
（这里我认为不能将a分离出来：a<=(e^x(x+1)-1）/(2x)，设t(x)=(e^x(x+1)-1）/(2x)，则t’(x)=e^x*x^2+e^x*x-e^x-1，令t’(x)=0，得x=0，而t(x)中x不能为0)
令g(x)=e^x(x+1)-2ax-1，即g(x)>=0
而g(0)=0，所以g’(x)>=0要恒成立
g’(x)=e^x*x+e^x-2a>=0
（这时候可以分离a了）
所以a<=e^x(x+1)/2
令p(x)=e^x(x+1)/2
则p’(x)=(e^x*x+e^x)/2，令p'(x)=0
得x=-1，可知x=-1为p(x)极小值点
而x>=0，则p(x)最小值为p(0)=1/2
所以a<=1/2
哥们也不知道对不对。这题计算量比较大，要二次求导。我省了一些步骤。有问题可以交流。