Question

已知n个正整数x1, x2, x3, ……, xn满足x1+x2+x3+…+xn=2008，求这n个数的乘积的最大值。

Answer 1

1、x1、x2、x3、…、xn中，不可能有大于或等于5的数，这是因为，5＜2×3，6＜3×3，…
也不可能有三个或三个以上的2，因为三个2的积小于两个3的积
因此n个数的最大积只可能是由668个3及2个2的积组成，最大值为2^2×3^668
2、∵4＜√19＜5
∴－87＜√19－91＜－86
∴a＝－87
∵9＜√91＜10
∴－9＞－√91＞－10
∴10＞19－√91＞9
∴b＝9
c＝{√10}＝√10－[√10]＝√10－3，d＝√{10}＝0
∴ab＋cd＝－87×9＋(√10－3)×0＝－783
3、令[x]＝n，则n≤x＜n＋1
又由3x＋5[x]－49＝0得：
x＝1/3(49－5[x])＝1/3(49－5n)
∴n≤1/3(49－5n)＜n＋1
得：46/8＜n≤49/8
又n是整数，故n＝6
把n＝[x]＝6代入原方程得：
3x＋5×6－49＝0
∴x＝19/3

Answer 2

解：设有a个－1，b个0,c个1,d个2,由已知条件有：
-a+c+2d=2010
(1)
a+c+4d=2012
(2)
a+b+c+d=2012
(3)
设x1^3+...+x2012^3=s=-a+c+8d
(1)-(2)得：2d+2a=2
a+d=1由a,d均为非负整数，故a=1　d=0或a=0
d=1
（一）a=1
　d=0时，c=2011
s=-1+2011+8*0=2010
（二）a=0
　d=1时，c=2008
s=0+2008+8*1=2016