Question

设数列{an}的前n项和sn=2an-2^n，求{ an }的通项公式

Answer 1

Sn=2an-2^n
S(n-1)=2a(n-1)-2^(n-1)两式作差
an=2a(n-1)-2^(n-1)
设an-kn2^n=2[a(n-1)-k(n-1)2^(n-1)]，k是待定的常数
联合两式，解得k=1/2，则an=2a(n-1)-2^(n-1)可以改写成
an-n2^(n-1)=2[a(n-1)-(n-1)2^(n-2)]，然后迭代。an-n2^(n-1)=……=2^(n-1)×（a1-1*2^0）=2^(n-1)
an=n2^(n-1)+2^(n-1)=(n+1)2^(n-1)

Answer 2

a1=2
sn=2an-2^n
Sn-1=2A(n-1)-2^(n-1)
作差移项
An-2^n=2A(n-1)-2^(n-1)
两边都除以2^（n-1)
可以发现
{An/2^(n-1)}是首相为2
d=1的等差数列
从而
An/2^(n-1)=2+（n-1)
An=（n+1)*2^(n-1)