Question

线性代数问题：为什么A和（A的转置乘以A）这两个矩阵的秩会相等？

Answer 1

用一个不等式直接证明：
R（A）+R（B）-n <= R(AB) <= min{ R(A），R（B）}
n+n-n <= R(A^T A) <= n

Answer 2

该结论是对实的矩阵A成立。因为AX=0和A'AX=0同解，故r(A)=r(A'A)。
注：若实向量X是AX=0的解，则显然成立A'AX=0，即X也是A'AX=0的解。反之，若X是A'AX=0的解，则0=X'A'AX=(AX)'(AX)，因AX为实向量，故该式等价于AX=0，即X也是AX=0的解。