设f(x)在[a,b]上连续,且f(a)<a,f(b)>b,证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=ξ.

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狄广英勤璧
2020-03-12 · TA获得超过3.7万个赞
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假如不存在f(ξ)=ξ
1.f(ξ)>ξ.
f(x)在[a,b]上都在f(x)=x的上面
不可能与f(a)连续.
2.同理f(ξ)<ξ.
f(x)在[a,b]上都在f(x)=x的下面
不可能与f(b)连续
与命题矛盾

至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=ξ.
绍霞书月
2020-03-09 · TA获得超过3.6万个赞
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令F(x)=f(x)-x那么
F(a)=f(a)-a<0
F(b)=f(b)-b>0
所以根据根的存在性定理可得
至少存在一点ξ∈(a,b),使得F(ξ)=0
所以.至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=ξ.
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春秀荣羽壬
2020-03-08 · TA获得超过3.5万个赞
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用零点定理方可:

g(x)=f(x)-x
则g(x)在[a,b]上连续,且
g(a)=f(a)-a<0
,
g(b)=f(b)-b>0,
有零点定理知,存在ξ,使得
g(ξ)=
f(ξ)-
ξ=0

f(ξ)=ξ
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