Question

设A=(a1,a2,...,an)属于R^n(ai不全为零)，求矩阵(A^T)A的特征值与特征向量。 谢谢你。

Answer 1

因为
ai不全为零,
所以
A≠0,所以
A^TA≠0,
故
r(A^TA)>=1.
又因为
r(A^TA)<=r(A)<=1
所以
r(A^TA)
=
1.
由于
A^TA
是实对称矩阵(可对角化),
所以A^TA只有一个非零特征值.
而
(A^TA)A^T
=
A^T(AA^T)
=
(a1^2+...+an^2)A^T
所以
A^T
是
A^TA
的属于特征值
a1^2+...+an^2
的特征向量.
所以
A^TA
的特征值为
a1^2+...+an^2,
0,...,0.
再由
A^TAx=0
与
Ax=0
同解
所以属于特征值0的特征向量即与向量A正交的非零向量.
不妨设a1≠0,
则Ax=0的基础解系为
(-a2/a1,
1,0,0,...,0)^T,
(-a3/a1,0,1,...,0)^T,
...
,
(-an/a1,0,0,...,1)^T
A^TA的属于特征值0的特征向量即为上述基础解系的非零线性组合

Answer 2

a^2=aa=(a*bt)(a*bt)==a*(bt*a)*bt
(1)
(结合律)
由于:at*b=0,
故:[at*b]t=0,
即:bt*a=0
(2)
(2)代入(1),得:a^2=aa=(a*bt)(a*bt)==a*(bt*a)*bt=0
(n阶零方阵)
故a^2的特征值均为:0.