Question

已知(a1+a2+......an)/n的极限为A且,n(an-an-1)的极限为0,求证an的极限为A

Answer 1

lim(n->∞)
an
=a
,求证：
lim(n->∞)
(a1+a2+..+an)/n=a
证明：
①
对任意
ε>0
,
∵
lim(n->∞)
an
=a
对
ε/2
>0
,存在
n1，当n>n1时,
|an-a|<ε/2，
令:
m
=
2(|a1-a|+|a2-a|+...+|an1-a|
+1)/ε
则当
n
>
max{
m
,
n1}
时:
|(a1+a2+..+an)/n
-
a|
≤
(|a1-a|+|a2-a|+...+|an1-a|)/n
+(|a(n1+1)-a|+...+|an-a|)/n
≤
ε/2
+(n-n1)*ε/2/n
≤
ε/2+ε/2
=
ε
②
故存在
n
=
max{
[m]
,
n1}
∈z+
③
当
n>n
时，
④
恒有：
|(a1+a2+..+an)/n
-
a|
<
ε
成立。
∴
lim(n->∞)
(a1+a2+..+an)/n=a
{本题最简洁的方法是直接套
o'stoltz
定理即可}
逆命题不成立,
如反例
:
an
=
(-1)^n
lim(n->∞)
(a1+a2+..+an)/n
=
0
,但:
an
=
(-1)^n
发散.

Answer 2

第二个条件多余啊。以下是过程：(a1
a2
......an)/n→A，故(a1
a2
......an－1)/n－1→A，即nA←a1
a2
......an－1＋an＝A（n－1）＋an，故an→A，用了极限的定义（奥赛里常用的），完全不须第二步，不信问你老师