Question

3个正数成等差数列,其和为15,则等差中项为5。设公差为d,

Answer 1

便于书写的明晰, 这里做如下的符号定义:
a(i):数列{a(n)}的第i项;
x^(1/2): x的1/2次方, 即平方根.

则, 由题可知
S(1)=[a(1)]^(1/2);
S(n)=[a(1)+a(2)+.....+a(n)]^(1/2)=S(1)+(n-1)*2;
对上式进行平方, 可得:
a(1)+a(2)+.....+a(n) = a(1) + 4*(n-1)*[a(1)]^(1/2) + 4*(n-1)^2;
a(1)+a(2)+.....+a(n-1) = a(1) + 4*(n-2)*[a(1)]^(1/2) + 4*(n-2)^2;
前式减后式, 得:
a(n) = 4*[a(1)]^(1/2) +8n - 12;
即为数列的形式通相公式, 只要得到a(1), 就可以得到{a(n)}的通项公式, 而这一公式可以通过已知条件
2a(2) = a(1) + a(3)求得, 具体有:
a(2) = 4*[a(1)]^(1/2) +4;
a(3) = 4*[a(1)]^(1/2) +12;
带入已知条进, 可以得:
a(1)- 4*[a(1)]^(1/2) +4 =0;
则有: a(1)=4;
进而得到{a(n)}通项公式:
a(i)=8n-4=4+8*(n-1); (i0).

对于数列{b(n)}={a(n)/2^n}, 可以求得其通项公式:
b(i)=(8n-4)/2^n;
这是典型的"等差乘等比型"数列, 可以采用错位相减进行求和, 但这里推荐一个非常巧妙的方法, 详见链接:
由上方法, 有
x(1) = 4/(1-1/2)+2*8/(1-1/2)^2 = 72;
d(0) = 1*8/(1-1/2) = 16;
T(n) = 72*1/2 - (72 + 16n)/2^n.
即为所求.
(第二问计算结果没有仔细检查, 所以可能不是完全正确的,建议你用链接中的方法重新计算一次)

这道题是比较有难度的一道数列题目, 第一问的求解具有一定特殊性, 只要明白方法就好, 并不需要强记; 第二步的求解是典型的"等差乘等比型"数列求通项, 是数列题目中非常常见的题型, 强烈建议掌握链接中的方法, 可以极大地增加解题效率.
以上, 谢谢阅读!

Answer 2

数列为456，公差为1

Answer 3

3，5，7 d=2