Question

5道用积分表示极限的题，求两道题的详细过程，写清思路，谢谢。

Answer 1

解：根据定积分的定义，lim(n→∞)∑(1/n)f(i/n)=∫(0,1)f(x)dx，i=1,2，……，n。其中，视“1/n”为dx、f(i/n)为f(x)、i/n为x的变化范围。
　　∴(1)题，原式=lim(n→∞)∑(1/n)/(1+i/n)，视1/n为dx、f(i/n)=1/(1+x)、i/n∈(0,1]，∴原式=lim(n→∞)∑(1/n)/(1+i/n)=∫(0,1)dx/(1+x)。
　　(2)题的处理过程与(1)题相同。
　　(3)题，原式=e^{lim(n→∞)∑(1/n)ln[2-(i/n)^2]}=e^[∫(0,1)ln(2-x^2)dx]。
　　(4)题，原式=lim(n→∞)∑(1/n)(i/n)^p=∫(0,1)(x^p)dx。
　　(5)题，原式=lim(n→∞)∑(1/n)/√[1+(i/n)^2]=∫(0,1)dx/√(x^2+1)。
　　供参考。